kalkulus: LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif

Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.

Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh berikut:

Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =

Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) =

(tidak dapat ditemukan)

Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :

x	0	1,1	1,5	1,9	1,999	2.000	2,001	2,01	2,5	2,7
f(x)	1	2,1	2,5	2,9	2,999	???	3,001	3,01	3,5	3,7

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) =

: mendekati 3. jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis :

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu

Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:

a. Subtitusi

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai

Penyelesaian :

Nilai limit dari fungsi f(x) = x²– 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)

Artinya bilamana x dekat 3 maka x²– 8 dekat pada 3²– 8 =9 – 8 = 1 Dengan ketentuan sebagai berikut:

a) Jika f (a) = c, maka

b) Jika f (a) =

, maka

c) Jika f (a) =

, maka

b. Pemfaktoran

Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai

Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =

Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai

, kita harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:

Jadi,

= 3 + 3 = 6

c. Merasionalkan Penyebut

Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai

Penyelesaian:

= 1 . 0

= 0

d. Merasionalkan Pembilang

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai

Penyelesaian:

3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak Berhingga

Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga,diantaranya:

dan

Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:

a. Membagi dengan pangkat tertinggi

Cara ini digunakan untuk mencari nilai

. Caranya dengan membagi f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x ) atau g (x).

Contoh:

Tentukan nilai limit dari:

Penyelesaian:

a. untuk menentukan nilai dari

perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.

= 2

b. Perhatikan fungsi h (x) =

! Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x²yang terdapat pada x²– 2. jadi, untuk menentukan nilai

maka fungsi 4x + 1 dan x²– 2 harus dibagi dengan x².

= 0

b. Mengalikan dengan faktor lawan

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan

. Jika kita dimitai menyelesaikan

maka kita harus mengalikan [f (x) + g (x)] dengan

sehingga bentuknya menjadi:

ataupun sebaliknya.

Contoh:

Tentukan nilai dari

Penyelesaian:

B. TEOREMA LIMIT

Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka: