Minggu, 17 April 2011

FUNGSI

Fungsi Pangkat












Fungsi Eksponensial 











Fungsi Trigonometri 



Pengertian Integral dan Deferensial


INTEGRAL
Integral merupakan materi matematika yang termasuk pada aspek kalkulus. Materi Integral ini diberikan di kelas XII semester pertama. Integral merupakan invers dari diferensial(turunan), oleh karena itu sebagai materi prasyarat adalah materi turunan yang sudah diberikan di kelas XI semester kedua.
Materi Integral ini dibagi dalam beberapa bagian, sebagai berikut:
1. Pengertian Integral
Bagian ini membahas pengertian integral sebagai invers(kebalikan) dari turunan, baik turunan fungsi
aljabar maupun turunan fungsi trigonometri.
2. Integral Tentu
Pada bagian ini dibahas pengertian integral tentu yang diturunkan dari konsep luas daerah sebagai
limit jumlah. Menghitung nilai integral tentu dengan menggunakan teorema dasar kalkulus.
3. Teknik Pengintegralan
Bagian ini membahas teknik-teknik pengintergralan. ada 3 teknik yang digunakan:
- Pengintegralan dengan substitusi
- Pengintegralan dengan substitusi Trigonometri
- Pengintegralan Parsial
4. Penerapan Integral
Bagian ini membahas tentang penerapan Integral dalam menentukan:
- Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu-sumbu koordinat
- Luas daerah antara 2 kurva
- Volume benda putar mengelilingi sumbu-X
- Volume benda putar mengelilingi sumbu-Y
Kualifikasi dan Tujuan
Tujuan dari pembelajaran Integral ini adalah siswa dapat:
• Mengenal arti Integral tak tentu
• Menurunkan sifat-sifat integral tak tentu dari turunan
• Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
• Menggunakan konsep integral tak tentu untuk menentukan fungsi yang berhubungan dengan masalah sehari-hari
• Mengenal arti integral tentu
• Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral
• Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak tentu
• Menentukan integral dengan cara substitusi untuk fungsi aljabar
• Menentukan integral dengan cara substitusi untuk fungsi trigonometri
• Menetukan integral dengan dengan cara parsial
• Menentukan integral dengan dengan cara substitusi trigonometri
• Menggambar suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva
• Merumuskan integral tentu untuk luas daerah
• Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.
• Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh dua kurva
• Merumuskan integral tentu untuk volum benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat
• Menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu X.
• Menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu Y
• Menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh 2 kurva mengelilingi sumbu X
• Menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh 2 kurva mengelilingi sumbu Y
DEFFERENSIAL
Dikenal sebagai hitung differensial berkaitan dengan mengenai integral karena hitung differensial bagian dari kalkulus.
Kalkulus meliputi hitung differensil dan integral. Kadang-kadang disebut juga “Kalkulus differensial dan kalkulus integral”.
Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia. Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier).
turunan fungsi

LIMIT FUNGSI ALJABAR


  
1.      Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif
Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.
Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh berikut:
Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =
Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) =  (tidak dapat ditemukan)
Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :

x
0
1,1
1,5
1,9
1,999
2.000
2,001
2,01
2,5
2,7
f(x)
1
2,1
2,5
2,9
2,999
???
3,001
3,01
3,5
3,7

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) = : mendekati 3. jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis :
2.      Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu
Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:


a.      Subtitusi
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
 Tentukan nilai !
Penyelesaian :
Nilai limit dari fungsi  f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)
     
                                       
Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1 Dengan ketentuan sebagai berikut:
a)      Jika f (a) = c, maka
b)      Jika f (a) = , maka
c)      Jika  f (a) = , maka
b.      Pemfaktoran
Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
 Tentukan nilai !
Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) = .
Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai, kita harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:

 
Jadi, =
                              =
                              = 3 + 3 = 6
c.       Merasionalkan Penyebut
Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
 Tentukan nilai !
Penyelesaian:
     =
                              =
                              =
                              =
                              =
                              = 1 . 0
                              = 0

d.      Merasionalkan Pembilang
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
 Tentukan nilai !



Penyelesaian:
=  .
=
=
=
=  
=
=  = =

3.      Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak Berhingga
Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga,diantaranya:
             dan 
Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:
a.      Membagi dengan pangkat tertinggi
Cara ini digunakan untuk mencari nilai. Caranya dengan membagi f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x ) atau g (x).
Contoh:
 Tentukan nilai limit dari:
a.                       b.  
Penyelesaian:
a.       untuk menentukan nilai dari  perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.
=
                     =
                     =
                     =               =                  = 2
b.      Perhatikan fungsi h (x) =  ! Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 – 2. jadi, untuk menentukan nilai  maka fungsi 4x + 1 dan x2 – 2 harus dibagi dengan x2 .
    =      
                     =
                     =           
                     =        
                     =               =  0
b.      Mengalikan dengan faktor lawan
Cara ini digunakan untuk menyelesaikan  . Jika kita dimitai menyelesaikan  maka kita harus mengalikan  [f (x) + g (x)] dengan sehingga bentuknya menjadi:
      .
      =  ataupun sebaliknya.


Contoh:
 Tentukan nilai dari

Penyelesaian:
=  .
=           
=  
=
=  
=                             
                                   
B.     TEOREMA LIMIT
Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka:
1.     
2.     
3.      f (x) = kf (x)
4.      [f (x) ± g (x)] = f (x) ± g (x)
5.      v [f (x) . g (x)] = f (x) .  g (x)
6.      , dimana  g(x) ≠ 0
7.       [f (x) ]n = [f (x)]n
8.       dimana
f (x)  0 untuk n bilangan genap
f (x) ≤ 0 untuk n bilangan ganjil
Contoh:
Carilah             a. !           b.
Penyelesaian:
a)       =                  (teorema 4)
                              = 3              (teorema 3)
                              = 3            (teorema 7)
                              = 3. (4)2 – 4                      (teorema 2)
                              = 3. 16 – 4      =  44


b)       =                     (teorema 6)
                           =                   (teorema 8 dan 3)
                           =               (teorema 4)
                           =            (teorema 7)
                           =                           (teorema 1 dan 2)
                           =    =     =

C.    LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Rumus limit fungsi trigonometri:
a.       Limit fungsi sinus
1.                           
2.                                                   
3.                   
4.                   


b.      Limit fungsi tangens
  1.   
  2.   
  3.                    
  4.                                 
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!
a.                       b. 

Penyelesaian:
a.        = 
                           =
                           = 1 .  =
b.       =  
                           =
                                 =  1. 1 . =